Números complejos
Las matemáticas utilizadas en la ingeniería eléctrica para
añadir juntos resistencias, corrientes o voltajes de CC utiliza lo que se llama
"números reales". Pero los números reales no son el único tipo de
números que necesitamos para utilizar sobre todo cuando se trata de fuentes
sinusoidales dependientes de la frecuencia y vectores.
Así como el uso de los
números normales o reales, números complejos se introdujeron para permitir
ecuaciones complejas que hay que resolver con los números que son las raíces cuadradas
de números negativos, √ -1 .
En la ingeniería eléctrica de este tipo de número se llama
un "número imaginario" y distinguir un número imaginario de un número
real la letra " j ", conocido comúnmente en ingeniería eléctrica como
el j-operador , se utiliza. La letra j se coloca delante de un número real para
significar su operación número imaginario. Los ejemplos de los números
imaginarios son: J3 , J12 , J100 , etc. A continuación, un número complejo se
compone de dos partes distintas pero muy relacionadas, un "número
real" más un "número imaginario".
Los números complejos representan puntos en un complejo de
dos dimensiones o plano s que se hace referencia a dos ejes distintos. En el
eje horizontal se llama el "eje real", mientras que el eje vertical
se llama el "eje imaginario". Las partes real e imaginaria de un
número complejo, Z se abrevian como Re (z) y Im (z) , respectivamente.
Los números complejos que se componen de bienes (el
componente activo) e imaginario (el componente reactivo) números se pueden
sumar, restar y se utilizan exactamente de la misma manera que el álgebra
elemental se utiliza para analizar los circuitos de corriente continua .
Las normas y leyes utilizadas en las matemáticas para la
adición o sustracción de los números imaginarios son los mismos que para
números reales, j2 + j4 = J6 etc. La única diferencia está en la multiplicación
de dos números imaginarios, porque multiplican entre sí se convierte en un
número real positivo, ya que dos negaciones equivalen a un positivo. Los
números reales también pueden ser considerados como un número complejo, pero
con una marcada cero parte imaginaria j0 .
El j-operador tiene un valor exactamente igual a √ -1 , la
multiplicación de modo sucesivo de "
j ", ( j x j
) resultará en j tiene los siguientes valores de, -1 , -j y 1 . A medida
que el j-operador se utiliza normalmente para indicar la rotación en sentido
antihorario de un vector, cada multiplicación sucesiva o poder de " j
", j 2 , j 3 etc, obligará al vector para girar en un ángulo de 90
o en sentido antihorario como se muestra abajo . Del mismo modo, si la
multiplicación de los resultados de vectores en un -j
operador entonces el desplazamiento de fase será -90 o , es decir, un
sentido horario de rotación.
Vector La rotación de la j-operador
Así multiplicando un número imaginario por j 2 hará girar el
vector por 180 o en sentido
antihorario, la multiplicación por j 3 hace girar 270 o y por j 4 hace girar 360 o o de vuelta a su posición original. La
multiplicación por j 10 o por j 30 hará que el vector para girar en sentido
antihorario por la cantidad apropiada. En cada rotación sucesiva, la magnitud
del vector es siempre el mismo.
En Ingeniería Eléctrica hay diferentes maneras de
representar un número complejo, ya sea gráfica o matemáticamente. Una de las
maneras que utiliza la regla de coseno y seno se llama el cartesiana o de forma
rectangular .
Los números complejos utilizando la forma rectangular
En el último tutorial sobre fasores , vimos que un número
complejo se representa por una parte real y una parte imaginaria que toma la
forma generalizada de:
Donde:
Z - es el número complejo que representa el
vector
x - es la parte real o el componente activo
y - es la parte imaginaria o el componente
reactiva
j - se define por √ -1
En la forma rectangular, un número complejo se puede
representar como un punto en un plano de dos dimensiones llamado el complejo o
plano s . Así, por ejemplo, Z = 6 + j4 representa un solo punto cuyas
coordenadas representar 6 en el eje real horizontal y 4 en el eje imaginario
vertical como se muestra.
Los números complejos utilizando el plano s complejo o
Pero ya que tanto las partes real e imaginaria de un número
complejo en forma rectangular puede ser un número positivo o un número
negativo, entonces tanto el eje real e imaginario también debe extenderse en
ambas direcciones positiva y negativa.
Esto produce entonces un plano complejo
con cuatro cuadrantes llamado un diagrama de Argand tal como se muestra a
continuación.
Cuatro Diagrama de Argand Cuadrante
En el diagrama de Argand, el eje horizontal representa los
números reales positivos todo a la derecha del eje imaginario vertical y todos
los números reales negativos a la izquierda del eje imaginario vertical. Todos
los números imaginarios positivos se representan por encima del eje horizontal,
mientras que todos los números imaginarios negativos están por debajo del eje real
horizontal. Esto produce entonces un plano complejo de dos dimensiones con
cuatro cuadrantes distintos marcados, QI , QII , QIII , y QIV .
El diagrama de Argand anterior también puede ser usado para
representar un fasor de rotación como un punto en el plano complejo, cuyo radio
está dada por la magnitud del fasor se dibuja un círculo completo alrededor de
ella por cada 2p / ω segundos.
Entonces podemos extender esta idea aún más para mostrar la
definición de un número complejo, tanto en la forma polar y rectangular para
rotaciones de 90 o .
Los números complejos también pueden tener "cero"
partes reales o imaginarios, tales como: Z = 6 + j0 o Z
= 0 + j4 . En este caso, los puntos se representan directamente en el eje real
o imaginario. Además, el ángulo de un número complejo se puede calcular
utilizando la trigonometría simple calcular los ángulos de triángulos
rectángulos, o se mide en sentido antihorario alrededor del diagrama de Argand
a partir del eje real positivo.
A continuación, los ángulos entre 0 y 90 o estarán en el
primer cuadrante ( I ), ángulos (
theta ) entre 90 y 180 o en el
segundo cuadrante ( II ). El tercer cuadrante ( III )
incluye ángulos entre 180 y 270 o mientras que el cuarto y último cuadrante
( IV
) que completa el círculo completo, incluye los ángulos entre 270 y 360
o y así sucesivamente. En todos los cuatro cuadrantes los ángulos pertinentes
se pueden encontrar a partir de:
tan -1 (componente imaginario ÷ componente real)
Suma y resta de números complejos
La adición o sustracción de los números complejos se pueden
hacer ya sea matemática o gráficamente en forma rectangular. Por otra parte,
las partes real se añaden en primer lugar entre sí para formar la parte real de
la suma, y luego las partes imaginarias para formar la parte imaginaria de la
suma y este proceso es como sigue usando dos números complejos A y B como
ejemplos.
La adición del complejo y resta
Los números complejos Ejemplo No1
Dos vectores se definen como, A = 4 + j1 y B = 2 + j3
respectivamente. Determinar la suma y diferencia de los dos vectores en tanto
rectangular ( a + jb ) forma y gráficamente como un diagrama de
Argand.
Matemáticas Suma y resta
Gráfica de suma y resta
Multiplicación y división de números complejos
La multiplicación de números complejos en forma rectangular,
sigue más o menos las mismas reglas que para el álgebra normal, junto con
algunas reglas adicionales para la multiplicación sucesiva de la j-operador
donde: j 2 = -1 . Así, por ejemplo,
multiplicando nuestros dos vectores desde arriba de A = 4 + J1 y B = 2 + j3 nos
dará el siguiente resultado.
Matemáticamente, la división de números complejos en la
forma rectangular es un poco más difícil de realizar, ya que requiere el uso de
la función denominadores conjugado para convertir el denominador de la ecuación
en un número real. Esto se llama "racionalización". A continuación,
la división de números complejos se lleva a cabo mejor utilizando "Forma
polar", que vamos a ver más adelante. Sin embargo, como un ejemplo en
forma rectangular permite encontrar el valor del vector A dividida por el
vector B .
El complejo conjugado
El complejo conjugado , o simplemente conjugado de un número
complejo se encuentra invirtiendo el signo de los números complejos número
imaginario solamente mientras se mantiene el signo del número real de la misma
e identificar el complejo conjugado de z el símbolo z se utiliza. Por ejemplo,
el conjugado de z = 6 + j4 es z = 6 - j4
, del mismo modo el conjugado de z = 6 - j4 es z = 6 + j4 .
Los puntos en el diagrama de Argand para un conjugado
complejo tienen la misma posición horizontal en el eje real como el número
complejo original, pero las posiciones verticales opuestos. Por lo tanto, los
conjugados complejos pueden ser considerados como un reflejo de un número
complejo. El siguiente ejemplo muestra un número complejo, 6 + j4 y su
conjugado en el plano complejo.
Números complejos conjugados
La suma de un número complejo y su conjugado complejo será
siempre un número real como hemos visto anteriormente. A continuación, la
adición de un número complejo y su conjugado da el resultado como un número
real o único componente activo, mientras que su sustracción da un número
imaginario o único componente reactivo. El conjugado de un número complejo es
un elemento importante que se utiliza en la ingeniería eléctrica para
determinar la potencia aparente de un circuito de CA con la forma rectangular.
Los números complejos usando la Forma Polar
A diferencia de la forma rectangular que traza puntos en el
plano complejo, la forma polar de un número complejo está escrito en términos
de su magnitud y el ángulo. Por lo tanto, una forma de vector polar se presenta
como: Z = A ∠ ± θ , donde: Z es el número complejo
en forma polar, A es la magnitud o módulo del vector y θ es el ángulo o
argumento de A que puede ser positivo o negativo. La magnitud y el ángulo del
punto sigue siendo el mismo que para la forma rectangular por encima, esta vez
en forma polar la ubicación del punto está representado en una "forma
triangular" como se muestra a continuación.
Polar forma de representación de un número complejo
Como la representación polar de un punto se basa alrededor
de la forma triangular, podemos utilizar geometría simple del triángulo y,
especialmente, la trigonometría y el teorema de Pitágoras en triángulos para
encontrar tanto la magnitud y el ángulo del número complejo. A medida que
recordamos de la escuela, ofertas de trigonometría con la relación entre los
lados y los ángulos de los triángulos por lo que podemos describir las
relaciones entre los lados como:
El uso de la trigonometría de nuevo, el ángulo θ de A se da
como sigue.
Luego, en Polar formar la longitud de A y su ángulo
representa el número complejo en lugar de un punto. También en forma polar, el
conjugado del número complejo tiene la misma magnitud o módulo es el signo del
ángulo que cambia, así que por ejemplo el conjugado de 6 ∠30
o sería 6 ∠- 30 o .
La conversión entre la forma rectangular y forma polar
En la forma rectangular podemos expresar un vector en
términos de sus coordenadas rectangulares, siendo el eje horizontal de su eje
real y el eje vertical siendo su eje imaginario o j-componente. En forma polar
estos ejes real e imaginaria son simplemente representados por " Un ∠θ ". Luego, utilizando el ejemplo anterior, la relación entre la forma rectangular y forma polar se puede definir
como.
Convertir la Forma polar en la Forma rectangular, (P → R)
También podemos convertir de nuevo de forma rectangular a la
forma polar de la siguiente manera.
Convertir la Forma rectangular en forma polar, (R → P)
Forma polar multiplicación y división
forma rectangular es mejor para sumar y restar números
complejos como vimos más arriba, pero la forma polar es a menudo mejor para
multiplicar y dividir. Para multiplicar juntos dos vectores en forma polar,
debemos multiplicar por primera vez juntos los dos módulos o magnitudes y luego
sumar sus ángulos.
La multiplicación en forma polar
División en forma polar
Del mismo modo, para dividir a dos vectores en forma polar,
debemos dividir los dos módulo y luego restar sus ángulos, como se muestra.
Afortunadamente modernas calculadoras científicas de hoy en
día han construido en las funciones matemáticas (consulte su guía) que permite
la fácil conversión de rectangular a la forma polar, ( R → P
) y la parte posterior de polar a la forma rectangular, ( R → P
).
Los números complejos usando la forma exponencial
Hasta ahora hemos considerado los números complejos en la
Forma rectangular , ( a + jb ) y la forma polar , ( A ∠ ± θ ). Pero existe también un tercer método para
la representación de un número
complejo que es similar a la forma polar que corresponde a la longitud
(magnitud) y ángulo de fase de la sinusoide
sino que utiliza la base del logaritmo natural, e = 2,718 281 .. encontrar el valor del número
complejo. Este tercer método se denomina la forma exponencial .
La Forma exponencial utiliza las funciones trigonométricas
de tanto el seno ( sin ) y el coseno ( cos )
valores de un triángulo rectángulo para definir la exponencial compleja como un
punto de rotación en el plano complejo. La forma exponencial para encontrar la
posición del punto se basa en la identidad de Euler , llamada así por el
matemático suizo Leonhard Euler y se da como:
A continuación, la identidad de Euler se puede representar
por el siguiente diagrama de fasor de rotación en el plano complejo.
Podemos ver que la identidad de Euler es muy similar a la
forma polar arriba y que nos muestra que un número como A e jθ que tiene una magnitud de 1 es también un
número complejo. No sólo podemos convertir números complejos que están en forma
exponencial fácilmente en forma polar como por ejemplo: 2 e J30 =
2∠30
, 10 e J120 = 10∠120 o -6 e J90 =
-6∠90
, pero la identidad de Euler también da
nosotros una manera de convertir un número
complejo a partir de su forma exponencial en su forma rectangular. A continuación, la relación entre,
exponencial, Polar y forma rectangular en la definición de
un número complejo se administra en forma.
Formas con números complejos
fasor notación
Hasta ahora tenemos vistazo a diferentes maneras de
representar ya sea un vector de rotación o un vector estacionario usando
números complejos para definir un punto en el plano complejo. Notación de fasor
es el proceso de construcción de un único número complejo que tiene la amplitud
y el ángulo de fase de la forma de onda sinusoidal dado. A continuación, la
notación de fasor o fasor transforman como se llama a veces, transfiere la
parte real de la función sinusoidal: A (t)
= a m cos (? T ± Φ) del dominio
del tiempo al dominio de número complejo que también se llama el dominio de la
frecuencia . Por ejemplo:
Tenga en cuenta que el √ 2 convierte la amplitud máxima en
un efectivo valor RMS o con el ángulo de fase dado en radianes, ( ω ).
Resumen de los números complejos
Entonces, para resumir este tutorial sobre números complejos
y el uso de los números complejos en ingeniería eléctrica.
Los números complejos se componen de dos números distintos,
un número real más un número imaginario.
Los números imaginarios se distinguen de un número real por
el uso de la j-operador.
Un número con la letra " j " en frente de ella
identifica como un número imaginario en el plano complejo.
Por definición, el j-operador j ≡ √ -1
Los números imaginarios pueden sumarse, restarse,
multiplicarse y dividirse los mismos que los números reales.
La multiplicación de " j " por " j " da
j 2 = -1
En forma rectangular un número complejo se representa por un
punto en el espacio en el plano complejo.
En forma polar de un número complejo se representa mediante
una línea cuya longitud es la amplitud y el ángulo de fase.
En forma exponencial un número complejo está representado
por una línea y el ángulo correspondiente que utiliza la base del logaritmo
natural.
Un número complejo se puede representar en una de tres
maneras:
Z = x + jy »Forma
Rectangular
Z = A ∠Φ »forma polar
Z = A e jΦ
»Forma exponencial
La identidad de Euler se puede utilizar para convertir los
números complejos de la forma exponencial en forma rectangular.
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